出題（2024年3月号掲載分）／応募締切（3月8日）／解答（2024年6月号掲載）
出題1
下図のように，鋭角三角形 $\t{ABC}$ の辺の中点を $\t{D},\,\t{E},\,\t{F}$ とします．辺 $\t{BC}$ を直径とする円と中線 $\t{AD}$ を直径とする円の交点を $\t{P}1,\,\t{P}2$ とします．同様に，辺 $\t{CA}$ を直径とする円と中線 $\t{BE}$ を直径とする円との交点を $\t{P}3,\,\t{P}4$ とし，さらに，辺 $\t{AB}$ を直径とする円と中線 $\t{CF}$ を直径とする円の交点を $\t{P}5,\,\t{P}6$ とします．このとき，これらの 6 点が同一円周上にあることを証明してください．
出題：前田陽一 (東海大学理学部)
出題2
$n,\,k$ を非負整数とします．二項係数
\begin{align*}
\binom{n}{k}
:=
\begin{cases}
\dfrac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!} & (k\not=0) \\[5pt]
1 & (k=0)
\end{cases}
\end{align*}を用いて，以下のような $4n+2$ 次多項式
\begin{align*}
F_{n}(x)
:=
x^{4n+2}
-c_{n} x^{2n+1}
-1
\end{align*}を考えます．ただし，
\begin{align*}
c_{n}
:=
2n + 1
+ \sum_{k=1}^{n} \left\{ \binom{n+k}{2k+1} + \binom{n+k+1}{2k+1} \right\}
\end{align*}とします (ここで $k=n$ のとき上の二項係数の定義から $\displaystyle\binom{n+k}{2k+1}$ は $0$ になります)：
\begin{align*}
F_{0}(x)
&=
x^{2} – x – 1, \\[5pt]
F_{1}(x)
&=
x^{6} – 4x^{3} – 1, \\[5pt]
F_{2}(x)
&=
x^{10} – 11x^{5} – 1, \\[5pt]
F_{3}(x)
&=
x^{14} – 29x^{7} – 1, \\[5pt]
F_{4}(x)
&=
x^{18} – 76x^{9} – 1, \quad\cdots .
\end{align*}
$F_{n}(x)$ を $x^{2} – x – 1$ で割った商と余りをもとめてください．
出題：渋川元樹 (神戸大学大学院理学研究科)
応募規定［解答掲載2024年6月号］
郵送の場合
B5判の用紙をご使用のうえ，解答用紙 1 枚ごとにA：出題の番号(例：3月号出題1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記宛先までお送りください．
〒170-8474 東京都豊島区南大塚3-12-4
日本評論社 数学セミナー〈エレガントな解答をもとむ〉係
メール送信の場合
B5判のサイズで，解答用紙 1 枚ごとにA：出題の番号(例：3月号出題1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記フォームから PDF ファイルを送信して下さい (ファイルサイズ10MBまで)．
解答記載に LaTeX ご利用の方は，テンプレートもご活用下さい．テンプレート利用は任意です．またテンプレートの漢字コードはUTF8です．ファイルが文字化けするときは適宜変換してお使いください．
(1)投稿フォームが上手く動かない，(2)受信確認メール希望の方でメールが届かない，などの場合，susemi_elegant@nippyo.co.jp に直接お送り下さい．
注意事項
- 締切：2024年3月8日
- 二題に応募されるときは，郵送の場合は解答用紙を，メール送信の場合はファイルを，出題ごとにかえてください．
- 年齢を忘れずにお書きください．
- 解答用紙は両面の使用を不可とします．
- 解答用紙はご返却できません．
- 問題のご感想も歓迎します．
- 出題掲載号：数学セミナー2024年3月号
- 解答・講評は，本誌2024年6月号にてご確認ください．
「エレガントな解答をもとむ」をすべて見る
最新の「エレガントな解答をもとむ」はこちら