出題(2024年6月号掲載分)/応募締切(6月8日)/解答(2024年9月号掲載)

エレガントな解答をもとむ(数学セミナー)| 2024.05.10
 『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します.奮ってご応募ください.解答・講評(3ヶ月後)は,本誌にてご確認ください.

(毎月10日頃の掲載予定)

$\def\t#1{\text{#1}}\def\dfrac#1#2{\displaystyle\frac{#1}{#2}}$

出題1

図のように,長さ $1$ の羽根が等間隔に $p$ 枚並んだ風車を原点に置き,その回転位置を $t\,[\t{rad}]$ とする.$y$ 軸方向真上から偶数 $2k$ 本の矢が,$x$ 座標 $-1 \leqq x \leqq 1$ の範囲に一様ランダムに落ちてくるとき,$2k$ 本すべての矢に貫通される羽根の枚数の期待値 $E_{p}^{2k}(t)$ を考える.たとえば,図 (a) の場合はすべての矢に貫通される羽根は $0$ 枚で,図 (b) の場合は $2$ 枚である.$E_{p}^{2k}(t)$ の値は $t$ の関数であるが,$p,\, 2k$がある条件を満たせば,$E^{2k}_p(t)$ は $t$ によらない定数となる.その条件と,そのときの定数とを求めよ.

また,$x$ 軸方向右側からも $-1 \leqq y \leqq 1$ の範囲に一様ランダムに $2k$ 本の矢がやってくるとき,$2k$ 本すべての矢に貫通される羽根の枚数の期待値を $F_{p}^{2k}(t)$ とする.これは単に $F_{p}^{2k}(t) = E_{p}^{2k}\left (t+\dfrac{\pi}2\right)$ である.$E_{p}^{2k}(t) +F_{p}^{2k}(t)$ が定数関数になるときについても,前問と同様に考察せよ.

出題:山田修司 (京都産業大学理学部)

出題2

$n$ を 3 以上の自然数とする.

(1) $n$ 個の頂点を円周上に配置し,どの頂点もほかのすべての頂点と直線分で結びます.このとき,辺の交差点の数を求めてください.

(2) $n$ 個の白頂点と $n$ 個の黒頂点を円周上に交互に配置し,どの白頂点もすべての黒頂点に直線分で結びます.このとき,辺の交差点の数を求めてください.


ただし, (1) と (2) において次の点に注意します.

(1) 2 つの直線分の端点での接触は交差点と見なさない.

(2) 頂点は, 3 本以上の直線分が同一の交差点を持たないように,円周上に配置されている.

上の図では,左に (1) の $n=6$ の場合,右に (2) の $n=4$ の場合をそれぞれ示しており,各交差点をグレーの円でマークしています.

エレガントな解答を期待しています.

出題:中本敦浩 (横浜国立大学大学院環境情報研究院)

応募規定[解答掲載2024年9月号]

郵送の場合

B5判の用紙をご使用のうえ,解答用紙 1 枚ごとにA:出題の番号(例:6月号出題1),B:住所,氏名(ふりがなも明記,誌上での仮名を希望される方は,こちらに明記),年齢,職業を記入して,下記宛先までお送りください.

〒170-8474 東京都豊島区南大塚3-12-4
日本評論社 数学セミナー〈エレガントな解答をもとむ〉係

メール送信の場合

B5判のサイズで,解答用紙 1 枚ごとにA:出題の番号(例:6月号出題1),B:住所,氏名(ふりがなも明記,誌上での仮名を希望される方は,こちらに明記),年齢,職業を記入して,下記フォームから PDF ファイルを送信して下さい (ファイルサイズ10MBまで).

解答記載に LaTeX ご利用の方は,テンプレートもご活用下さい.テンプレート利用は任意です.またテンプレートの漢字コードはUTF8です.ファイルが文字化けするときは適宜変換してお使いください.

「エレガントな解答をもとむ」解答投稿フォーム

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受信確認が不要な方は空欄で構いません.
編集部に届くメールと同内容のものを送信しますので,お送りいただくPDFファイルも添付されます.
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※解答PDFを添付して下さい

(1)投稿フォームが上手く動かない,(2)受信確認メール希望の方でメールが届かない,などの場合,susemi_elegant@nippyo.co.jp に直接お送り下さい.

注意事項

  • 締切:2024年6月8日
  • 二題に応募されるときは,郵送の場合は解答用紙を,メール送信の場合はファイルを,出題ごとにかえてください.
  • 年齢を忘れずにお書きください.
  • 解答用紙は両面の使用を不可とします.
  • 解答用紙はご返却できません.
  • 問題のご感想も歓迎します.
  • 出題掲載号:数学セミナー2024年6月号
  • 解答・講評は,本誌2024年9月号にてご確認ください.

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