出題（2024年2月号掲載分）／応募締切（2月8日）／解答（2024年5月号掲載）
出題1
自然数の 10 進数表現を下の桁から順に読み取って，特定の命題の真偽を求めることをする．自然数表現を，数字の並び
\begin{align*}
A_K A_{K-1} \cdots A_2 A_1
\end{align*}と書くことにする．簡単のために上位に 0 の並びがあってもよいとする．
たとえば，「3 の倍数であるか」という命題は，次の漸化式
\begin{align*}
&X_0=0,\\[5pt]
&X_{n}=\t{mod}(X_{n-1}+A_n, 3)
\end{align*}から定まる数列 $(X_n)$ について，その末項 $X_{K}$ を用いた条件判定
\begin{align*}
X_{K}\ \text{が 0 なら真，それ以外は偽}
\end{align*}で表現できる (ここで $\t{mod}(X_{n-1}+A_n, 3)$ は $X_{n-1}+A_n$ を $3$ で割ったときの剰余である)．また $X_n$ は $0,\,1,\,2$ のどれかに限定されていることがわかる．
今回の問題は，「平方数であるか」という命題を，次の形の漸化式
\begin{align*}
&X_0=C,\\[5pt]
&X_{n}=F (X_{n-1}, A_n)
\end{align*}($C$ は定数，$F$ は何らかの 2 変数関数) から定まる，有限値 $N$ より小さい自然数からなる数列 $(X_n) $について，その末項 $X_{K}$ を用いた条件判定
\begin{align*}
X_{K}\in S\ \t{なら真，それ以外は偽}
\end{align*}で表現できるかということである．
その命題の表現があるなら，それを示してください．その命題の表現がないなら，ないことを証明してください．
出題：小谷善行 (東京農工大学名誉教授)
出題2
自然数の 3 組 $(1,5,10)$ はその異なる二つを選び掛け合わせて $1$ 引くと平方数になります．$(2,5,13)$ という 3 組も同じことが成り立ちます．このような性質を持つ自然数の 3 組が無限に存在することを示してください．
また $(3, 8, 21)$ という 3 組は異なる二つを選び掛け合わせて $1$ を足すと平方数になります．このような 3 組も無限に存在することを示してください．
出題：米澤佳己 (豊田工業高等専門学校)
応募規定［解答掲載2024年5月号］
郵送の場合
B5判の用紙をご使用のうえ，解答用紙 1 枚ごとにA：出題の番号(例：2月号出題1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記宛先までお送りください．
〒170-8474 東京都豊島区南大塚3-12-4
日本評論社 数学セミナー〈エレガントな解答をもとむ〉係
メール送信の場合
B5判のサイズで，解答用紙 1 枚ごとにA：出題の番号(例：2月号出題1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記フォームから PDF ファイルを送信して下さい (ファイルサイズ10MBまで)．
解答記載に LaTeX ご利用の方は，テンプレートもご活用下さい．テンプレート利用は任意です．またテンプレートの漢字コードはUTF8です．ファイルが文字化けするときは適宜変換してお使いください．
(1)投稿フォームが上手く動かない，(2)受信確認メール希望の方でメールが届かない，などの場合，susemi_elegant@nippyo.co.jp に直接お送り下さい．
注意事項
- 締切：2024年2月8日
- 二題に応募されるときは，郵送の場合は解答用紙を，メール送信の場合はファイルを，出題ごとにかえてください．
- 年齢を忘れずにお書きください．
- 解答用紙は両面の使用を不可とします．
- 解答用紙はご返却できません．
- 問題のご感想も歓迎します．
- 出題掲載号：数学セミナー2024年2月号
- 解答・講評は，本誌2024年5月号にてご確認ください．
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