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出題（2023年5月号掲載分）／応募締切（5月8日）／解答（2023年8月号掲載）

エレガントな解答をもとむ(数学セミナー)｜ 2023.04.10

『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します．奮ってご応募ください．解答・講評(3ヶ月後)は，本誌にてご確認ください．

(毎月10日頃の掲載予定)

$\def\t#1{\text{#1}}\def\dfrac#1#2{\displaystyle\frac{#1}{#2}}$

出題1

点と線からなる図形を，線の交差を許して平面上に描き，それによってできる領域の彩色 (同じ色の領域が隣接しないような色分け) を考える．例えば図1では，4 点と，その点たちのすべてのペアを線で結んだ図形を考えている．左の描き方では 4 色が必要となるが，右のように線の交差を許して描くと，必要な色数が 3 色となる．ただし，線が点を通過することは禁止し， 2 本の線が交差するときは，図1右のように交点には 4 つの領域が接することにする (その 4 つの領域のうち，隣接しない 2 領域は同じ色になることができる)．

図1　同じ図形の 2 つの描き方 (数字が色を表す)

(1)図3は，図2の図形の 1 つの描き方である．この領域が 3 色で彩色できることを示せ．

(2)図2の図形は，どのように描いたとしても，領域が 3 色で彩色できることを示せ．

図2　2 点と 3 本の線からなる図形

図3　図2の図形の 1 つの描き方

出題：小関健太 (横浜国立大学大学院環境情報研究院)

出題2

$p$を
\begin{align*}
3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, \cdots
\end{align*}のような $4$ で割って $3$ 余る素数とします．このとき，
\begin{align}
2\cos{\left (\frac{2\pi }{p}\cdot 1\right)}\cdot 2\cos{\left (\frac{2\pi }{p}\cdot 2\right)} \cdots 2\cos{\left (\frac{2\pi }{p}\cdot \frac{p-1}{2}\right)}
\tag{1}
\end{align}と
\begin{align}
2\cos{\left (\frac{2\pi }{p}\cdot 1^{2}\right)}\cdot 2\cos{\left (\frac{2\pi }{p}\cdot 2^{2}\right)} \cdots 2\cos{\left (\frac{2\pi }{p}\cdot \left (\frac{p-1}{2}\right)^{2}\right)}
\tag{2}
\end{align}を計算してください．

出題：渋川元樹 (神戸大学大学院理学研究科)