出題(2021年8月号掲載分)/応募締切(8月8日)/解答(2021年11月号掲載)

エレガントな解答をもとむ(数学セミナー)| 2021.07.09
 『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します.奮ってご応募ください.解答・講評(3ヶ月後)は,本誌にてご確認ください.

(毎月10日頃の掲載予定)

$\def\t#1{\text{#1}}\def\dfrac#1#2{\displaystyle\frac{#1}{#2}}\def\bs#1{\boldsymbol{#1}}$

出題1

四面体の外部の空間は,四面体の各面の決定する平面によって,14 個の凸領域に分割される.四面体の各頂点を尖端とする三面体 4 個と,各辺を棟とする屋根型 6 個,それに各面の外側の錐台 4 個である.

四面体の各面の決定する平面すべてに接する球面を,四面体の接球面という.接球面の中で,四面体に含まれるものを内接球面,各錐台に含まれるものを傍接球面という.どんな四面体も内接球面と 4 つの傍接球面をもつ.四面体の接球面で三面体に含まれるものは存在しない.四面体によっては,屋根型に含まれる接球面 (ルーフ球面と呼ぶ) をもつものがある.例えば,4 点 $(0,0,0),\, (1,0,0),\, (0,1,0),\,(0,0,1)$ を頂点とする四面体の場合,半径 $r=\dfrac{\sqrt3+1}2$,中心が $(-r, -r, r)$ の球面はこの四面体のルーフ球面である.

(i)四面体 $\t{ABCD}$ の辺 $\t{AB}$ を棟とする屋根型が接球面を含むなら,辺 $\t{CD}$ を棟とする屋根型は接球面を含まないことを示せ.(したがって,1 つの四面体のもちうるルーフ球面の個数は 3 個以下である.)

(ii) $k = 0,\, 1,\, 2,\, 3$ について,ちょうど $k$ 個のルーフ球面をもつ四面体の例を挙げよ.

出題:前原 濶

出題2

裕福な数学愛好家の A 氏が,お互いを知らない数学愛好家 2 人を招きました.2 人をお互いが見えないようにカーテンを下げた部屋に入れて着席させ,A 氏は 2 人が見える位置に座りました.そして,いきなり賞金 50 万円がついたパズルを出したのです.

A 氏「外見が同じ 2 つの封筒それぞれに,2 つの整数 $x,\, y\ (3 \leqq x < y )$ の積 $p$ と和 $s$ を書いて封印しました.積なのか和なのかは明記されています.$p$ の封筒と $s$ の封筒を無作為にお二人の机に置きます.合図したら,自分の前の封筒を開けてください.先に $x,\,y$ を大きな声で言い当てた方に賞金を差し上げます.ただし,解答までにかかった時間 1 分につき 5 万円ずつ賞金を減らします.解答が違ったり,正当な根拠が示せないと,解答時点での賞金の半額が相手に渡ります.机の上の紙と鉛筆は自由にお使いください.この問題はどちらの方にも解けます.」

合図のあと,2 人は高額賞金を狙って真剣に考え始めました.$p$ の封筒を開けた人を P 氏,$s$ の封筒を開けた人を S 氏と呼びましょう.両者無言のままの 3 分を過ぎてから,S 氏が突然 $x,\,y$ を言い当てました.A 氏はその根拠を確認したあと,賞金 35 万円を S 氏に渡しました.

$x,\,y$ を求めてください.

出題:竹内郁雄

応募規定[解答掲載2021年11月号]

郵送の場合

B5判の用紙をご使用のうえ,解答用紙 l 枚ごとにA:出題の番号(例:8月号出題1),B:住所,氏名(ふりがなも明記,誌上での仮名を希望される方は,こちらに明記),年齢,職業を記入して,下記宛先までお送りください.

〒170-8474 東京都豊島区南大塚3-12-4
日本評論社 数学セミナー〈エレガントな解答をもとむ〉係

メール送信の場合

B5判のサイズで,解答用紙l枚ごとにA:出題の番号(例:8月号出題1),B:住所,氏名(ふりがなも明記,誌上での仮名を希望される方は,こちらに明記),年齢,職業を記入して,下記フォームから PDF ファイルを送信して下さい (ファイルサイズ10MBまで).

解答記載に LaTeX ご利用の方は,テンプレートもご活用下さい.テンプレート利用は任意です.またテンプレートの漢字コードはUTF8です.ファイルが文字化けするときは適宜変換してお使いください.

「エレガントな解答をもとむ」解答投稿フォーム

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受信確認が不要な方は空欄で構いません.
編集部に届くメールと同内容のものを送信しますので,お送りいただくPDFファイルも添付されます.
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※解答PDFを添付して下さい

投稿フォームが上手く動かないなどの場合は,susemi_elegant@nippyo.co.jp に直接お送り下さい.

注意事項

  • 締切:2021年8月8日
  • 二題に応募されるときは,郵送の場合は解答用紙を,メール送信の場合はファイルを,出題ごとにかえてください.
  • 年齢を忘れずにお書きください.
  • 解答用紙は両面の使用を不可とします.
  • 解答用紙はご返却できません.
  • 問題のご感想も歓迎します.
  • 出題掲載号:数学セミナー2021年8月号
  • 解答・講評は,本誌2021年11月号にてご確認ください.

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