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出題（2025年11月号掲載分）／応募締切（11月8日）／解答（2026年2月号掲載）

エレガントな解答をもとむ(数学セミナー)｜ 2025.10.10

『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します．奮ってご応募ください．解答・講評(3ヶ月後)は，本誌にてご確認ください．

(毎月10日頃の掲載予定)

$\def\t#1{\text{#1}}\def\dfrac#1#2{\displaystyle\frac{#1}{#2}}\def\rC{\text{C}}$

出題1

以下の (1) から (4) それぞれの仕様を満たす，正整数 $n=1,2,3,\cdots$ から $\{0,1\}$ への関数 $f,\,g,\,h,\,k$ を式で書いてください．なお，これらの関数は $n>100$ である $n$ に対しては必ず 0 を返します．式に使えるのは，

有理数の四則演算，
整数除算の余りを求める二項演算子 $\bmod$，
有理数に対して，自身以上の最小の整数を返す天井関数 $\lceil ~\rceil$，
有理数に対して，自身以下の最大の整数を返す床関数 $\lfloor ~\rfloor$，
数字 $0,\,1,\,2$ だけからなる 10 進整数，
それまでに定義された関数 $f,\,g,\,h$，
変数$n$，
カッコ

のみです．

式が簡潔なほど良い解答とします．強面風の関数 $k$ もとても簡潔な式で書けます．

(1) $f (n)=1~(1\leqq n\leqq 100)$ である関数 $f$

(2) $g (n)=1~(n=1,4,7,10,13,\cdots,91,94,97,100),\,g (n)=0$ (それ以外) である関数 $g$

(3) $h (n)=1~(n=1, 10, 100),\,h (n)=0$ (それ以外) である関数 $h$

(4) $1\leqq n\leqq 33$ について，$k (n)$ の値を数列にすると
\begin{align*}
0,0,1,1,0,0,0,0,1,0,1,0,1,1,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1
\end{align*}となり，$k(n)=0\ (34\leqq n\leqq 50),\,k (n)=1~(51\leqq n\leqq 100)$ である関数 $k$

出題：竹内郁雄 (東京大学名誉教授)

出題2

$d$ を正の整数，$p$ を $p>1$ を満たす実数とします．数列 $(a_n)$ $(n=0,1,2,\cdots)$ が，
\begin{align*}
&a_1>a_0\geqq 0,\\[5pt]
&a_{n+1}-2a_n+a_{n-1}=\frac{1}{n^{d (p-1)}}\left (a_n\right)^p\quad (n=1,2,3,\cdots)
\end{align*}を満たすとき，次の問いに答えてください．

(1) $d=1$ のとき，任意の正数 $M$ に対して，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n^M}=\infty$ となることを示してください．

(2) $d \geqq 2$ のとき，$a_1>a_0 \geqq 0$ を満たす任意の初期値 $a_0,\, a_1$ と，任意の正数 $M$ に対して，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n^M}=\infty$ が成り立つような $p$ の値はどのような範囲にあるでしょうか．

出題：時弘哲治 (武蔵野大学工学部数理工学科)