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 『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します．奮ってご応募ください．解答・講評(3ヶ月後)は，本誌にてご確認ください．

(毎月10日頃の掲載予定)

出題1

正の整数全体の集合を $\mathbb{N}$ と書く．全単射 $f:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N}$ であって，任意の正の整数 $n$ に対して
$$\begin{align*} |f(n+1)-f(n)| \in \{6,10,15\} \end{align*}$$ を満たすものは存在するか．

出題：斎藤新悟

出題2

多項式
$$\begin{align*} & z^4+z^3+z^2+z+1,\\ & z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1 \end{align*}$$ は有理数の範囲ではこれ以上は因数分解できません．しかし，2 次の無理数まで認めると
$$\begin{align*} & z^4+z^3+z^2+z+1\\ &= \left( z^2+\frac{1+\sqrt5}2z+1 \right)\left( z^2+\frac{1-\sqrt5}2z+1 \right),\\[5pt] & z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1\\[5pt] &=\left( z^3+\frac{1+\sqrt{-7}}2z^2+\frac{-1+\sqrt{-7}}2z-1 \right)\\[5pt] &\phantom{=}\times\left( z^3+\frac{1-\sqrt{-7}}2z^2+\frac{-1-\sqrt{-7}}2z-1 \right) \end{align*}$$ のように因数分解をすることができます．では，次の 16 次多項式
$$\begin{align*} &z^{16}+z^{15}+z^{14}+z^{13}+z^{12}+z^{11}+z^{10}+z^{9}\\ &\phantom{=}+z^{8}+z^{7}+z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1 \end{align*}$$ を $\sqrt{17}$ を用いて，それぞれ最高次の係数が 1 の，2 つの 8 次多項式の積に分解してください (その 2 つの 8 次多項式を具体的に求めてください)．

出題：渋川元樹

応募規定［解答掲載2022年8月号］

郵送の場合

B5判の用紙をご使用のうえ，解答用紙 1 枚ごとにA：出題の番号(例：5月号出題1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記宛先までお送りください．

〒170-8474　東京都豊島区南大塚3-12-4
日本評論社　数学セミナー〈エレガントな解答をもとむ〉係

メール送信の場合

B5判のサイズで，解答用紙l枚ごとにA：出題の番号(例：5月号出題1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記フォームから PDF ファイルを送信して下さい (ファイルサイズ10MBまで)．

解答記載に LaTeX ご利用の方は，テンプレートもご活用下さい．テンプレート利用は任意です．またテンプレートの漢字コードはUTF8です．ファイルが文字化けするときは適宜変換してお使いください．

投稿フォームが上手く動かないなどの場合は，susemi_elegant@nippyo.co.jp に直接お送り下さい．

注意事項

• 締切：2022年5月8日
• 二題に応募されるときは，郵送の場合は解答用紙を，メール送信の場合はファイルを，出題ごとにかえてください．
• 年齢を忘れずにお書きください．
• 解答用紙は両面の使用を不可とします．
• 解答用紙はご返却できません．
• 問題のご感想も歓迎します．
• 出題掲載号：数学セミナー2022年5月号
• 解答・講評は，本誌2022年8月号にてご確認ください．

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