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出題（2025年3月号掲載分）／応募締切（3月8日）／解答（2025年6月号掲載）

エレガントな解答をもとむ(数学セミナー)｜ 2025.02.12

『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します．奮ってご応募ください．解答・講評(3ヶ月後)は，本誌にてご確認ください．

(毎月10日頃の掲載予定)

$\def\t#1{\text{#1}}\def\dfrac#1#2{\displaystyle\frac{#1}{#2}}$

出題1

下図のように，直円錐を，その底面と平行でない平面で切ると，切り口は円でない楕円になります．この図において，まず直円錐の底面である円 $C$ に注目しましょう．この円は，図中では楕円で描かれていますが，それは我々には「円は，ふつう楕円に見える」からです．ただし，直円錐の軸上から底面の円 $C$ を見ると円に見えるので，「円は，多くの場合楕円に見えるが，円に見える視点もある」というのがより正確な表現になります．次に，図中の楕円 $E$ に注目しましょう．直円錐の頂点 $\t{V}$ から見ると，楕円 $E$ は底面の円 $C$ と重なって見えます．このことは，「楕円は，多くの場合楕円に見えるが，円に見える視点もある」ということを表しています．

では，次の設定の下で，楕円が円に見える視点の集合がどのような図形になるかをお答えください．

問題　3 次元座標空間において，$xy$ 平面上に楕円
\begin{align*}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \quad (a>b>0)
\end{align*}を置く．この楕円を含む直円錐を考えたとき，直円錐の頂点 $\t{V}$の軌跡を述べなさい．ただし，$\t{V}$ の $z$ 座標は $0$ でない範囲で考えるものとします．

出題：前田陽一 (東海大学理学部)

出題2

自然数 $n$ と $k$ を固定する．あみだくじを作るため，縦に $n$ 本の線分を引き，その上の頂点を順に $\t{A}_1, \cdots, \t{A}_n$，下の頂点を順に $\t{B}_1, \cdots, \t{B}_n$ とする．また，$a \in \{\t{A}_1, \cdots, \t{A}_n\}$ と $b \in \{\t{B}_1, \cdots, \t{B}_n\}$ を取る．このとき，隣り合う二つの縦棒を結ぶように水平な横線を $k$ 本引いて，できるあみだくじを考える．ただし，横線どうしは繋がったり，交差したり，同じ高さに引かれたりしないものとする．また，二つのあみだくじは，上から $j$ 番目の横線が結ぶ縦線の組がすべて同じときに，同じものとみなす．ゆえに，あみだくじの総数は $P_{n,k} = (n-1)^k$ である．

このようにできるあみだくじのうち，$a$ が $b$ に移るものの総数を $P_{n,k}(a,b)$ としたとき，その商 $\dfrac{P_{n,k}(a,b)}{P_{n,k}}$ を求めよ．特に，極限
\begin{align*}
\lim_{k \to \infty} \frac{P_{n,k}(a,b)}{P_{n,k}}
\end{align*}が存在することを示し，その極限値を求めよ．

また，余裕があれば，取る頂点が複数個の場合，例えば $a,\, a’ \in \{\t{A}_1, \cdots, \t{A}_n\}$ と $b,\, b’ \in \{\t{B}_1, \cdots, \t{B}_n\}$ を取ったとき，$a$ が $b$ に，$a’$ が $b’$ にそれぞれ移るものの総数 $P_{n,k}( (a,a’), (b,b’) )$ との商 $\dfrac{P_{n,k}( (a,a’), (b,b’) )}{P_{n,k}}$ がどうなるか，考察せよ．

出題：跡部発 (京都大学大学院理学研究科)