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出題（2024年11月号掲載分）／応募締切（11月8日）／解答（2025年2月号掲載）

エレガントな解答をもとむ(数学セミナー)｜ 2024.10.10

『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します．奮ってご応募ください．解答・講評(3ヶ月後)は，本誌にてご確認ください．

(毎月10日頃の掲載予定)

$\def\t#1{\text{#1}}\def\dfrac#1#2{\displaystyle\frac{#1}{#2}}$

出題1

$1\times 2$ のサイズの畳があります．これを敷き詰めて，サイズが $3 \times 3$ 以上の，穴がない長方形の部屋 (ただし正方形も含む) を作りたいのですが，制約条件があります．

(1) 短辺同士をぴったり合わせて並べてはいけない．

(2) 長辺同士をぴったり合わせて並べてはいけない．

この 2 つの制約を同時に満たして長方形の部屋を作るのは明らかに無理そうですが，どちらか片方の制約だけだとどうでしょう．(1) だけ課した場合は $4\times 4$ の部屋を簡単に作れます．それでは (2) だけを課した場合，解があればその解を示し，解がないのであれば解がないことの証明をしてください．

出題：竹内郁雄（東京大学名誉教授）

出題2

$0$ または $1$ を係数とする高々 2 次の多項式の集合
\begin{align*}
\varOmega=\left\{a_2x^2+a_1x+a_0\,\big|\, a_i \in \{0,1\}\ (i=0,1,2)\right\}
\end{align*}について，$\varOmega$ が和について閉じるように，二つの要素の和を mod 2 での係数の和として定義します．つまり，$a_2x^2+a_1x+a_0,\,b_2x^2+b_1x+b_0 \in \varOmega$ に対して
\begin{align*}
(a_2x^2+a_1x+a_0)+(b_2x^2+b_1x+b_0)=c_2x^2+c_1x+c_0 \in \varOmega
\end{align*}で，$c_i \equiv a_i+ b_i$ (mod 2) とします．例えば，$x^2+x+1,\, x^2+1 \in \varOmega$ については
\begin{align*}
(x^2+x+1)+(x^2+1)=x
\end{align*}

$\varOmega$ の要素の数は $8$ なので，$\varOmega$ から $\varOmega$ への全単射写像 (要素を $1:1$ に対応させる写像) は $8!$ 個あります．そのうち，次の性質 (1) を満たす写像 $F$ の個数，および性質 (2) を満たす写像 $F$ の個数を答えてください．

(1) 任意の $g,\,h \in \varOmega$ に対して，$F(g+h)= F(g)+F(h)$ かつ $F(F(g)) = g$．

(2) 任意の $g,\,h \in \varOmega$ に対して，$F(g+F(h+F(g)))=F(g)+F(g+F(h))$ かつ $F(0)=0$．

例えば，(1) の性質を満たす $F$ の例は恒等写像や
\begin{align*}
F(a_2x^2+a_1x+a_0)=a_0x^2+a_1x+a_2
\end{align*}などです．また，$F$が (1) を満たせば (2) を満たすこともわかるので，この例は (2) も満たします．

出題：時弘哲治（武蔵野大学工学部数理工学科）