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出題（2024年3月号掲載分）／応募締切（3月8日）／解答（2024年6月号掲載）

エレガントな解答をもとむ(数学セミナー)｜ 2024.02.09

『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します．奮ってご応募ください．解答・講評(3ヶ月後)は，本誌にてご確認ください．

(毎月10日頃の掲載予定)

$\def\t#1{\text{#1}}\def\dfrac#1#2{\displaystyle\frac{#1}{#2}}$

出題1

下図のように，鋭角三角形 $\t{ABC}$ の辺の中点を $\t{D},\,\t{E},\,\t{F}$ とします．辺 $\t{BC}$ を直径とする円と中線 $\t{AD}$ を直径とする円の交点を $\t{P}1,\,\t{P}2$ とします．同様に，辺 $\t{CA}$ を直径とする円と中線 $\t{BE}$ を直径とする円との交点を $\t{P}3,\,\t{P}4$ とし，さらに，辺 $\t{AB}$ を直径とする円と中線 $\t{CF}$ を直径とする円の交点を $\t{P}5,\,\t{P}6$ とします．このとき，これらの 6 点が同一円周上にあることを証明してください．

出題：前田陽一 (東海大学理学部)

出題2

$n,\,k$ を非負整数とします．二項係数
$\begin{align*} \binom{n}{k} := \begin{cases} \dfrac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!} & (k\not=0) \\[5pt] 1 & (k=0) \end{cases} \end{align*}$ を用いて，以下のような $4n+2$ 次多項式
$\begin{align*} F_{n}(x) := x^{4n+2} -c_{n} x^{2n+1} -1 \end{align*}$ を考えます．ただし，
$\begin{align*} c_{n} := 2n + 1 + \sum_{k=1}^{n} \left\{ \binom{n+k}{2k+1} + \binom{n+k+1}{2k+1} \right\} \end{align*}$ とします (ここで $k=n$ のとき上の二項係数の定義から $\displaystyle\binom{n+k}{2k+1}$ は $0$ になります)：
$\begin{align*} F_{0}(x) &= x^{2} – x – 1, \\[5pt] F_{1}(x) &= x^{6} – 4x^{3} – 1, \\[5pt] F_{2}(x) &= x^{10} – 11x^{5} – 1, \\[5pt] F_{3}(x) &= x^{14} – 29x^{7} – 1, \\[5pt] F_{4}(x) &= x^{18} – 76x^{9} – 1, \quad\cdots . \end{align*}$
$F_{n}(x)$ を $x^{2} – x – 1$ で割った商と余りをもとめてください．