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 『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します．奮ってご応募ください．解答・講評(3ヶ月後)は，本誌にてご確認ください．

(毎月10日頃の掲載予定)

出題1

$k$ を正の整数とし，多項式 $P_n(x)\ (n=0,1,2,\cdots)$ を，$P_0(x)=1,\,P_1(x)=x-1$,
$$\begin{align*} P_n(x) =x^kP_{k-1}(x)-P_{n-2}(x)\quad(n\geqq 2) \end{align*}$$ と定めます．以下の問に答えてください．

(1) $P_n(x)$ の $x>0$ における零点，すなわち，$P_n(x)=0$ を満たす正の実数$x$, の数を求めてください．

(2) $k$ が奇数のとき，$P_n(x)$ の $x<0$ における零点の数を求めてください．

(3) $k$ が偶数のとき，$P_n(x)$ の $x<-1$ における零点の数を求めてください．

出題：時弘哲治

出題2

複素数 $z= x+iy,\,w= u+iv$ ($x,\,y,\,u,\,v$ は実数，$i =\sqrt{-1}$ は純虚数)に対して，$\lambda$ を実数 $\mathbb{R}$ の範囲で動かして
$$\begin{align*} F(z,w)\equiv \sup_{\lambda\in\mathbb{R}}\frac{|\lambda-z|}{|\lambda-w|} \end{align*}$$ により $F(z,w)$ を定めます(ただし，$\sup\limits_{\lambda\in\mathbb{R}}$ は，実数 $\mathbb{R}$ の範囲で $\lambda$ を動かしたときの「上限$\equiv$上界の最小値」を表します．また $|\cdot|$ は複素数の絶対値)．さて，$x,\,y,\,u$ を固定して $|v|$ を無限に大きくしたときの極限
$$\begin{align*} \lim_{|v|\to\infty} F(x+iy,u+iv) \end{align*}$$ は存在するでしょうか．存在する場合にその値はどうなるでしょうか．

出題：加古 孝

応募規定［解答掲載2019年1月号］

郵送の場合

B5版の用紙をご使用のうえ，解答用紙 l 枚ごとにA：問題の番号(例：2月号問1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記宛先までお送りください．

〒170-8474　東京都豊島区南大塚3-12-4
日本評論社　数学セミナー〈エレガントな解答をもとむ〉係

メール送信の場合

B5版のサイズで，解答用紙 l 枚ごとにA：問題の番号(例：10月号問1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記フォームから PDF ファイルを送信して下さい．

解答記載に LaTeX ご利用の方は，テンプレートもご活用下さい．テンプレート利用は任意です．またテンプレートの漢字コードはUTF8です．ファイルが文字化けするときは適宜変換してお使いください．

投稿フォームが上手く動かないなどの場合は，susemi_elegant@nippyo.co.jp に直接お送り下さい．

注意事項

• 締切：2018年10月8日
• 2 問に応募されるときは，郵送の場合は解答用紙を，メール送信の場合はファイルを，問題ごとにかえてください．
• 年齢を忘れずにお書きください．
• 解答用紙は両面の使用を不可とします．
• 解答用紙はご返却できません．
• 問題のご感想も歓迎します．
• 出題掲載号：数学セミナー2018年10月号．
• 解答・講評は，本誌2019年1月号にてご確認ください．

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