出題(2024年9月号掲載分)/応募締切(9月8日)/解答(2024年12月号掲載)

エレガントな解答をもとむ(数学セミナー)| 2024.08.09
 『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します.奮ってご応募ください.解答・講評(3ヶ月後)は,本誌にてご確認ください.

(毎月10日頃の掲載予定)

$\def\t#1{\text{#1}}\def\dfrac#1#2{\displaystyle\frac{#1}{#2}}$

出題1

正の整数 $x,\,y$ について,その比 $x:y$ が隣り合う正の整数の比であるとき, $x,\,y$ をよいペアと呼びます.正の整数の集合 $A$ について,$A$ のどの 2 つの要素もよいペアであるとき,$A$ をよい集合と呼びます.例えば,純正律による長調の音階において,ド,ミ,ファ,ソの 4 音の周波数比は $\displaystyle 1: \frac{5}{4} : \frac{4}{3} : \frac{3}{2}$ となっています.通分して,$A = \{ 12, 15, 16, 18 \}$ と置くと,$A$ はよい集合になります.

(1) $5$ 個の要素からなるよい集合を 1 つ作ってください.

(2) どのような正の整数 $n$ についても,要素数が $n$ であるようなよい集合が存在するでしょうか.

余裕があれば,次の発展問題を考えてみてください.$d$ を正の整数とします.正の整数 $x,\,y$ について,その比 $x:y$ を最も簡単な整数の比で表わすとき,その両項の差が $d$ ならば $x,\,y$を $d$-good と呼びます.正の整数の集合 $A$ について,$A$ のどの 2 つの要素も $d$-good であるとき,$A$ を $d$-good と呼びます.$d>1$ のとき,上記の (2) に対応する問題の答えはどうなるでしょうか.

出題:中上川友樹 (湘南工科大学情報学部)

出題2

二つの実関数 $f (x),\, g (x)$ があれば,合成関数の差を取って $f (g (x))-g (f (x))$ という新しい関数が作れます.

(1) 不等式
\begin{align*}
\cos (\sin x) – \sin (\cos x) > 0
\end{align*}が成り立つことを証明してください.

(2) 不等式
\begin{align*}
\sin x +1 > f (g (x))-g (f (x)) > \sin x -1
\end{align*}が成り立つような関数$f (x),\,g (x)$は存在するでしょうか.証明をつけて解答してください.

(3) さらに,不等式
\begin{align*}
e^x+1 > f (g (x))-g (f (x)) > e^x-1
\end{align*}についてはどうでしょうか. (2) と同様に考えてください.

(4) $f (x)=|x|,\,g (x)=-\frac{1}{2}(|x|+1)$ とおけば,$f (g (x))-g (f (x)) = |x|+1$ となります.では,
\begin{align*}
f (g (x))-g (f (x)) = |x|-1
\end{align*}となるような関数 $f (x),\,g (x)$ は存在するでしょうか.

一問,二問,三問だけの解答も歓迎します.力が余っていたら,こんな関数も $f (g (x))-g (f (x))$ のかたちに表せますといった面白い例を探してみてください.

出題:阿賀岡芳夫 (広島大学名誉教授)

応募規定[解答掲載2024年12月号]

郵送の場合

B5判の用紙をご使用のうえ,解答用紙 1 枚ごとにA:出題の番号(例:9月号出題1),B:住所,氏名(ふりがなも明記,誌上での仮名を希望される方は,こちらに明記),年齢,職業を記入して,下記宛先までお送りください.

〒170-8474 東京都豊島区南大塚3-12-4
日本評論社 数学セミナー〈エレガントな解答をもとむ〉係

メール送信の場合

B5判のサイズで,解答用紙 1 枚ごとにA:出題の番号(例:9月号出題1),B:住所,氏名(ふりがなも明記,誌上での仮名を希望される方は,こちらに明記),年齢,職業を記入して,下記フォームから PDF ファイルを送信して下さい (ファイルサイズ10MBまで).

解答記載に LaTeX ご利用の方は,テンプレートもご活用下さい.テンプレート利用は任意です.またテンプレートの漢字コードはUTF8です.ファイルが文字化けするときは適宜変換してお使いください.

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編集部に届くメールと同内容のものを送信しますので,お送りいただくPDFファイルも添付されます.
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※解答PDFを添付して下さい

(1)投稿フォームが上手く動かない,(2)受信確認メール希望の方でメールが届かない,などの場合,susemi_elegant@nippyo.co.jp に直接お送り下さい.

注意事項

  • 締切:2024年9月8日
  • 二題に応募されるときは,郵送の場合は解答用紙を,メール送信の場合はファイルを,出題ごとにかえてください.
  • 年齢を忘れずにお書きください.
  • 解答用紙は両面の使用を不可とします.
  • 解答用紙はご返却できません.
  • 問題のご感想も歓迎します.
  • 出題掲載号:数学セミナー2024年9月号
  • 解答・講評は,本誌2024年12月号にてご確認ください.

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