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出題（2022年12月号掲載分）／応募締切（12月8日）／解答（2023年3月号掲載）

エレガントな解答をもとむ(数学セミナー)｜ 2022.11.09
 『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します．奮ってご応募ください．解答・講評(3ヶ月後)は，本誌にてご確認ください．

(毎月10日頃の掲載予定)

出題1

正 3 角形の中に直角 2 等辺 3 角形を収めるとき，下図左のようにすると面積が占める割合は最大になり，その値は 13 です．反対に，直角 2 等辺 3 角形の中に正 3 角形を収めるとき，下図右のようにすると最大になり，その値も同じく 13 です．

これは偶然の一致でしょうか．そこで，次の問題を取り上げてみます．

互いに相似でない任意の 3 角形 ABC と 3 角形 DEF を考えます．そして，3 角形 ABC の相似形のうち，3 角形 DEF に収まる最大の 3 角形を A′B′C′ とし，3 角形 DEF の相似形のうち，3 角形 ABC に収まる最大の 3 角形を D′E′F′ とするとします．このとき，次の等式はつねに成り立つでしょうか．
3 角形 A′B′C′の面積3 角形 DEF の面積=3 角形 D′E′F′ の面積3 角形 ABC の面積

もしつねに成り立つとしたら，そのことを証明してください．成り立たないとしたら，反例を見つけ，それが反例であることを証明してください．

等式が成立する必要条件や十分条件がわかったなど，本問の一部のみが解けた場合の答案提出も歓迎です．

出題：岩沢宏和

出題2

集合 Ω={ε,0,1,00,⋯} を，0 と 1 からなる有限文字列の全体とします．ε は長さ 0 の文字列です．

有限文字列 w と w′ を連結した文字列を ww′ と書きます．また部分集合 A,B⫅Ω について，連結 A⋅B を A⋅B={ww′∣w∈A,w′∈B} とします．

正規表現は，以下のように再帰的に定義されます．

  1. 0 と 1 は正規表現である．
  2. r と s が正規表現のとき，和 r+s，積 r⋅s，スター r∗ と補 rc も正規表現である．

正規表現 r には，(r にマッチする言語と呼ばれる) Ω の部分集合 L(r) が以下で再帰的に定義されます．

  1. L(0)={0} と，L(1)={1}．
  2. L(r+s)=L(r)∪L(s),L(r⋅s)=L(r)⋅L(s),L(r∗)={ε}∪L(r)∪(L(r)⋅L(r))∪⋯ と，L(rc)=Ω∖L(r) (ここで r と s は正規表現)．

特に L(r∗) は L(r) の任意有限回の繰り返し，L(rc) は L(r) の補集合です．例えば Ω=L（(0+1)∗） です．

問題 1　正規表現 (1c⋅1)∗ を，スターが登場しない正規表現で書き直してください．

問題 2　正規表現 （(0+1)⋅0∗⋅1）∗ を，スターの入れ子が登場しない正規表現で書き直してください．

例えば L(0∗+0c)=L(0+0c) (=Ω) なので，0∗+0c はスターを 1 回も使わない 0+0c で書き直せています．また問題 2 のような書き直しの例としては，L（(0+(1⋅(0+1))∗)∗）=L(((1c⋅1)c)∗) があります．

出題：土岡俊介

応募規定［解答掲載2023年3月号］

郵送の場合

B5判の用紙をご使用のうえ，解答用紙 1 枚ごとにA：出題の番号(例：12月号出題1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記宛先までお送りください．

〒170-8474　東京都豊島区南大塚3-12-4
日本評論社　数学セミナー〈エレガントな解答をもとむ〉係

メール送信の場合

B5判のサイズで，解答用紙 1 枚ごとにA：出題の番号(例：12月号出題1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記フォームから PDF ファイルを送信して下さい (ファイルサイズ10MBまで)．

解答記載に LaTeX ご利用の方は，テンプレートもご活用下さい．テンプレート利用は任意です．またテンプレートの漢字コードはUTF8です．ファイルが文字化けするときは適宜変換してお使いください．

「エレガントな解答をもとむ」解答投稿フォーム

問題番号　　：
氏名　　　　：
確認用メールアドレス(任意)：

このアドレスに，投稿確認用のメールをお送りします．
受信確認が不要な方は空欄で構いません．
編集部に届くメールと同内容のものを送信しますので，お送りいただくPDFファイルも添付されます．
メールアドレスは返信用に使うだけで，収集することはありません．

※解答PDFを添付して下さい

投稿フォームが上手く動かないなどの場合は，susemi_elegant@nippyo.co.jp に直接お送り下さい．

注意事項

  • 締切：2022年12月8日
  • 二題に応募されるときは，郵送の場合は解答用紙を，メール送信の場合はファイルを，出題ごとにかえてください．
  • 年齢を忘れずにお書きください．
  • 解答用紙は両面の使用を不可とします．
  • 解答用紙はご返却できません．
  • 問題のご感想も歓迎します．
  • 出題掲載号：数学セミナー2022年12月号
  • 解答・講評は，本誌2023年3月号にてご確認ください．

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