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出題(2022年6月号掲載分)/応募締切(6月8日)/解答(2022年9月号掲載)

エレガントな解答をもとむ(数学セミナー)| 2022.05.10
 『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します.奮ってご応募ください.解答・講評(3ヶ月後)は,本誌にてご確認ください.

(毎月10日頃の掲載予定)

出題1

n を正の整数として,以下で定まる列 (a1,a2,,an) を考えます.
a1=2n1,ak=((1+k)n1)(1+k1i=1ai)(2kn)この列の最後の項 an について,「良い」上からの評価 (つまり,anbn を満たす bn) を見つけてください.また,その「良さ」の説明も添えてください.「良さ」の基準としては,例えば

  • 精度が良い (bn の値が an に近い)
  • 表示が簡潔である
  • 証明が簡単である

などが考えられますが,上記以外の基準でも構いません.何を「良さ」として主張するかの選択も解答の一部と考えてください.

出題:縫田光司

出題2

p を奇素数とします.

(1) 合同不定方程式 x2+y21 (modp)x0 (modp), y0 (modp), x2y2 (modp) となる解で互いに非同値である解の総数を求めてください.ここ で,xa (modp), yb (modp) なる解に対し (x,y)(±a,±b) (modp) および (x,y)(±b,±a) (modp) なる 8 つの解を解 (a,b) と同値な解といいます.

(2) Fp={0,1,,p1} とします.p を法としてある整数の平方数に合同な数を p を法とする平方数といいます.0 と合同な整数は平方数としません.p を法として整数 a2 つの異なる平方数 x2,y2 の差 x2y2 に合同になるような x2y2 (x2,y2Fp) の対 (x2,y2) の総数を N(a) で表します.Fp{0} に属するすべての整数 a に対し N(a) の値を求めてください.

例えば p=7 のとき,平方数は 1,4,23 つで,平方数の差の値は 7 を法として 211, 422, 413, 144, 245, 126 となり,任意の整数 a (aF7{0}) に対して N(a)=1 です.

次に 1p 乗根で 1 でないものの 1 つを ζ (ζ1,ζp=1) とします.さらに α=p1i=0ζi2 とおくとき,複素数 α の絶対値は p であることを示してください.

出題:中川暢夫

応募規定[解答掲載2022年9月号]

郵送の場合

B5判の用紙をご使用のうえ,解答用紙 1 枚ごとにA:出題の番号(例:6月号出題1),B:住所,氏名(ふりがなも明記,誌上での仮名を希望される方は,こちらに明記),年齢,職業を記入して,下記宛先までお送りください.

〒170-8474 東京都豊島区南大塚3-12-4
日本評論社 数学セミナー〈エレガントな解答をもとむ〉係

メール送信の場合

B5判のサイズで,解答用紙l枚ごとにA:出題の番号(例:6月号出題1),B:住所,氏名(ふりがなも明記,誌上での仮名を希望される方は,こちらに明記),年齢,職業を記入して,下記フォームから PDF ファイルを送信して下さい (ファイルサイズ10MBまで).

解答記載に LaTeX ご利用の方は,テンプレートもご活用下さい.テンプレート利用は任意です.またテンプレートの漢字コードはUTF8です.ファイルが文字化けするときは適宜変換してお使いください.

「エレガントな解答をもとむ」解答投稿フォーム

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このアドレスに,投稿確認用のメールをお送りします.
受信確認が不要な方は空欄で構いません.
編集部に届くメールと同内容のものを送信しますので,お送りいただくPDFファイルも添付されます.
メールアドレスは返信用に使うだけで,収集することはありません.

※解答PDFを添付して下さい

投稿フォームが上手く動かないなどの場合は,susemi_elegant@nippyo.co.jp に直接お送り下さい.

注意事項

  • 締切:2022年6月8日
  • 二題に応募されるときは,郵送の場合は解答用紙を,メール送信の場合はファイルを,出題ごとにかえてください.
  • 年齢を忘れずにお書きください.
  • 解答用紙は両面の使用を不可とします.
  • 解答用紙はご返却できません.
  • 問題のご感想も歓迎します.
  • 出題掲載号:数学セミナー2022年6月号
  • 解答・講評は,本誌2022年9月号にてご確認ください.

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