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 『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します．奮ってご応募ください．解答・講評(3ヶ月後)は，本誌にてご確認ください．

(毎月10日頃の掲載予定)

出題1

$p$ を奇素数，$n$ を自然数とし，$\bs{F}_p=\{0,1,\cdots,p-1\}$ と置きます．下記のような命題を考えます．

(C) 任意の整数 $a$ に対して合同方程式
$$\begin{align*} (x+1)^n-x^n\equiv a\quad(\t{mod}\,p) \end{align*}$$ は $\bs{F}_p$ に解をもつ．

(1) 命題(C)が成立するとき，$u\not\equiv 0\ (\t{mod}\,p)$ なる任意の整数 $u$ に対して
$$\begin{align*} \Bigl\{(x+u)^n-x^n\,\Bigm|\,x\in\bs{F}_p \Bigr\}\equiv\bs{F}_p\quad(\t{mod}\,p) \end{align*}$$ が成立することを示してください．

ここで整数からなる集合 $A,\,B$ に対して $A\equiv B\ (\t{mod}\,p)$ とは，$A$ の任意の要素は $p$ を法として $B$ のある要素に合同であり，$A$ と $B$ を取り替えてもこの命題が成り立つときをいいます．

(2) 命題(C)が成立するようなすべての自然数 $n$ を求めてください．求めた自然数以外の $n$ に対しては(C)は成り立たないことも示してください．

もちろん問題の一部の解答でも歓迎です．

出題：中川暢夫

出題2

分数を習い始めた小学生が分数の足し算をするときに，$\dfrac 12+\dfrac 34=\dfrac{1+3}{2+4}$ と間違えることがあります．そこで，2 つの有理数 $s,\,t$ に対して，それらが既約分数で $s=\dfrac ab,\,t=\dfrac cd$ と表されるとき，
$$\begin{align*} s\sharp t=\dfrac ab\sharp\dfrac cd=\dfrac{a+c}{b+d} \end{align*}$$ と定めます．ただし，有理数を既約分数で表すときは，分母は常に正とし，整数 $n$ は $\dfrac n1$ で表すとします．

有理数を端点とする区間 $I=[s,t]$ に対して，$s<s\sharp t<t$ であるので，$u=s\sharp t$ を $I$ の $\sharp$ 中点と呼び，区間 $I$ を2 つの区間 $[s,u]$, $[u,t]$ に分割することを $\sharp$ 分割と呼びます．さらに，$L,\,R$ の文字列 $w$ に対して，$I_w$ の $\sharp$ 分割が $I_{wL}$, $I_{wR}$ であると帰納的に定めます．また，$I_w$ の $\sharp$ 中点である有理数は「$I$ におけるアドレス $w$ をもつ」と言うことにします．($I$ の $\sharp$ 中点は空文字列のアドレスをもちます．)

例えば $I=\left[\dfrac{-1}5,\dfrac 74\right]$ とすると，$\dfrac{-1}5\sharp\dfrac 74=\dfrac 69=\dfrac 23$ なので 1 回目の分割は $I_L=\left[\dfrac{-1}5,\dfrac 23\right]$, $I_R=\left[\dfrac 23,\dfrac 74\right]$ であり，2 回目の分割は $I_{LL}=\left[\dfrac{-1}5,\dfrac 18\right]$, $I_{LR}=\left[\dfrac 18,\dfrac 23\right]$, $I_{RL}=\left[\dfrac 23,\dfrac 97\right]$, $I_{RR}=\left[\dfrac 97,\dfrac 74\right]$ となり，$\dfrac 23\sharp\dfrac 97=\dfrac{11}{10}$ は $\left[\dfrac{-1}5,\dfrac 74\right]$ におけるアドレス $RL$ をもちます．

(1)区間 $I$ 内の両端を除くすべての有理数は，区間 $I$ におけるアドレスをもつでしょうか．

(2)区間 $I$ におけるアドレスをもつ有理数を，区間 $J$ におけるそれと同じアドレスをもつ有理数に対応させる写像を $f_{IJ}$ と書きます．$f_{IJ}$ は $I$ 上の連続関数 $\overline{f_{IJ}}$ に拡張できるでしょうか．また，それは可微分でしょうか．

解答は(1)だけでも結構です．

出題：山田修司

応募規定［解答掲載2021年10月号］

郵送の場合

B5判の用紙をご使用のうえ，解答用紙 l 枚ごとにA：出題の番号(例：7月号出題1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記宛先までお送りください．

〒170-8474　東京都豊島区南大塚3-12-4
日本評論社　数学セミナー〈エレガントな解答をもとむ〉係

メール送信の場合

B5判のサイズで，解答用紙l枚ごとにA：出題の番号(例：7月号出題1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記フォームから PDF ファイルを送信して下さい (ファイルサイズ10MBまで)．

解答記載に LaTeX ご利用の方は，テンプレートもご活用下さい．テンプレート利用は任意です．またテンプレートの漢字コードはUTF8です．ファイルが文字化けするときは適宜変換してお使いください．

投稿フォームが上手く動かないなどの場合は，susemi_elegant@nippyo.co.jp に直接お送り下さい．

注意事項

• 締切：2021年7月8日
• 二題に応募されるときは，郵送の場合は解答用紙を，メール送信の場合はファイルを，出題ごとにかえてください．
• 年齢を忘れずにお書きください．
• 解答用紙は両面の使用を不可とします．
• 解答用紙はご返却できません．
• 問題のご感想も歓迎します．
• 出題掲載号：数学セミナー2021年7月号
• 解答・講評は，本誌2021年10月号にてご確認ください．

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