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出題（2019年8月号掲載分）／応募締切（8月8日）／解答（2019年11月号掲載）

エレガントな解答をもとむ(数学セミナー)｜ 2019.07.10

『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します．奮ってご応募ください．解答・講評(3ヶ月後)は，本誌にてご確認ください．

(毎月10日頃の掲載予定)

$\def\t#1{\text{#1}}$

出題1

正の整数 $q$ と整数 $a,\, b$ に対して $a$ および $b$ を $q$ で割った余りが等しいとき $a\equiv b\ (\text{mod}\,q)$ と表します．

問題　2 以上の自然数 $m$ が 3 と互いに素であるとする．自然数 $k$ に対して
$\begin{align*} (m^k)^2+m^k+1 \end{align*}$ は素数であるとし，これを $p$ とおく．このとき，
$\begin{align*} m^{m^k+1}\equiv 1\quad (\text{mod}\,p) \end{align*}$ が成立することを証明せよ．

例えば， $m=2$ で $k =1,\,3,\,9$ とすると， $(m^k)^2+m^k+1$ の値はそれぞれ 7, 73, 262657 となり，これらの値はすべて素数です．
$\begin{align*} &2^{2+1}\equiv 1\quad (\text{mod}\,7),\\ &2^{2^3+1}\equiv 1\quad (\text{mod}\, 73),\\ &2^{2^9+1}\equiv 1\quad (\text{mod}\, 262657) \end{align*}$ が成立しています．これらの例から，条件が成り立つ $k$ の値を予想してみるとよいでしょう．

出題：中川暢夫＋小田文仁

出題2

以下の問題は，私の勘違いで間違った解答を書いてしまった 2014 年 9 月号の出題に加筆したものです．カードの枚数を減らしましたが，賢者の思考に追いつくのはたやすくありません．再度挑戦していただけるでしょうか？

3 人の賢者 $A,\, B,\, C$ がカード遊びをしています．1 から $N =9$ までの数が書かれた $N$ 枚のカードが円卓上に裏向きに置いてあり，賢者たちは 1 枚ずつ手元に取ります．大小比較で中間の数を取った賢者が勝ちます．でも，一斉にカードをオープンするだけでは脳がへたれるので，次のようにしました．賢者たちは取ったカードを見たあと，自分の右隣りにも見せます．そして $A$ から順に時計回りに，勝敗について確定したこと，つまり「誰の勝ち」あるいは勝者が決まらないときは「誰の負け」と発言します．勝敗に関する新しい確定情報がないときはニッコリ会釈するだけです．