出題(2018年10月号掲載分)/応募締切(10月8日)/解答(2019年1月号掲載)

エレガントな解答をもとむ(数学セミナー)| 2018.09.26
 『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します.奮ってご応募ください.解答・講評(3ヶ月後)は,本誌にてご確認ください.

(毎月10日頃の掲載予定)

出題1

$k$ を正の整数とし,多項式 $P_n(x)\ (n=0,1,2,\cdots)$ を,$P_0(x)=1,\,P_1(x)=x-1$,
\begin{align*}
P_n(x) =x^kP_{k-1}(x)-P_{n-2}(x)\quad(n\geqq 2)
\end{align*}と定めます.以下の問に答えてください.

(1) $P_n(x)$ の $x>0$ における零点,すなわち,$P_n(x)=0$ を満たす正の実数$x$, の数を求めてください.

(2) $k$ が奇数のとき,$P_n(x)$ の $x<0$ における零点の数を求めてください.

(3) $k$ が偶数のとき,$P_n(x)$ の $x<-1$ における零点の数を求めてください.

出題:時弘哲治

出題2

複素数 $z= x+iy,\,w= u+iv$ ($x,\,y,\,u,\,v$ は実数,$i =\sqrt{-1}$ は純虚数)に対して,$\lambda$ を実数 $\mathbb{R}$ の範囲で動かして
\begin{align*}
F(z,w)\equiv \sup_{\lambda\in\mathbb{R}}\frac{|\lambda-z|}{|\lambda-w|}
\end{align*}により $F(z,w)$ を定めます(ただし,$\sup\limits_{\lambda\in\mathbb{R}}$ は,実数 $\mathbb{R}$ の範囲で $\lambda$ を動かしたときの「上限$\equiv$上界の最小値」を表します.また $|\cdot|$ は複素数の絶対値).さて,$x,\,y,\,u$ を固定して $|v|$ を無限に大きくしたときの極限
\begin{align*}
\lim_{|v|\to\infty} F(x+iy,u+iv)
\end{align*}は存在するでしょうか.存在する場合にその値はどうなるでしょうか.

出題:加古 孝

応募規定[解答掲載2019年1月号]

郵送の場合

B5版の用紙をご使用のうえ,解答用紙 l 枚ごとにA:問題の番号(例:2月号問1),B:住所,氏名(ふりがなも明記,誌上での仮名を希望される方は,こちらに明記),年齢,職業を記入して,下記宛先までお送りください.

〒170-8474 東京都豊島区南大塚3-12-4
日本評論社 数学セミナー〈エレガントな解答をもとむ〉係

メール送信の場合

B5版のサイズで,解答用紙 l 枚ごとにA:問題の番号(例:10月号問1),B:住所,氏名(ふりがなも明記,誌上での仮名を希望される方は,こちらに明記),年齢,職業を記入して,下記フォームから PDF ファイルを送信して下さい

解答記載に LaTeX ご利用の方は,テンプレートもご活用下さい.テンプレート利用は任意です.またテンプレートの漢字コードはUTF8です.ファイルが文字化けするときは適宜変換してお使いください.

「エレガントな解答をもとむ」解答投稿フォーム

問題番号  :
氏名    :
※解答PDFを添付して下さい

投稿フォームが上手く動かないなどの場合は,susemi_elegant@nippyo.co.jp に直接お送り下さい.

注意事項

  • 締切:2018年10月8日
  • 2 問に応募されるときは,郵送の場合は解答用紙を,メール送信の場合はファイルを,問題ごとにかえてください.
  • 年齢を忘れずにお書きください.
  • 解答用紙は両面の使用を不可とします.
  • 解答用紙はご返却できません.
  • 問題のご感想も歓迎します.
  • 出題掲載号:数学セミナー2018年10月号
  • 解答・講評は,本誌2019年1月号にてご確認ください.

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