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出題（2024年6月号掲載分）／応募締切（6月8日）／解答（2024年9月号掲載）

エレガントな解答をもとむ(数学セミナー)｜ 2024.05.10

『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します．奮ってご応募ください．解答・講評(3ヶ月後)は，本誌にてご確認ください．

(毎月10日頃の掲載予定)

【「エレガントな解答をもとむ」(6月号出題)のWeb応募の不具合について(6/7 14時時点)】

6/4(火)から，弊社のメールサーバーのトラブルが生じており，ドメイン @nippyo.co.jp のメールアドレスで，メールが受信できない状況が続いています．

それに伴い，本ページで応募いただいている「エレガントな解答をもとむ」の解答が，6/5(水)の早朝以降，編集部で確認できない状況です．

6/5(水)の早朝から6/7(金)14時現在までの間，Web日本評論からご応募いただいた方は，お手数をおかけしますが，下記の電話番号までご一報ください．

［受付時間］
平日9：30～17:00

［電話番号（数学セミナー編集部）］
03-3987-8599

このたびはご不便をおかけしており，まことに申し訳ございません．

これからWebでご応募される方については，いったん解答の送付をお待ちいただくようお願いいたします．
Web応募については，締切を数日延期することを予定しております．

進展等がありましたら，弊社ホームページ，Web日本評論，Xの小誌公式アカウントにて告知いたします．

【追記（6/7 17:00）】

6/7(金)15:40より，Web日本評論からご応募いただいた解答は編集部で確認できるように復旧いたしました．

なお，今回の6月号出題のWeb応募に限り，6/10(月)23:59まで締切を延期いたします．

また，6/5(水)9時ごろ～6/7(金)15時半ごろの間の応募で，今回のトラブルでご解答内容が確認できなかった方のうち，解答フォームにメールアドレスをご記載いただいた方へ確認のメールをお送りしています．

該当する方でメールが届いていない方，フォームにメールアドレスを記載されなかった方は，お手数ですが上記の電話番号にご連絡ください．

$\def\t#1{\text{#1}}\def\dfrac#1#2{\displaystyle\frac{#1}{#2}}$

出題1

図のように，長さ $1$ の羽根が等間隔に $p$ 枚並んだ風車を原点に置き，その回転位置を $t\,[\t{rad}]$ とする．$y$ 軸方向真上から偶数 $2k$ 本の矢が，$x$ 座標 $-1 \leqq x \leqq 1$ の範囲に一様ランダムに落ちてくるとき，$2k$ 本すべての矢に貫通される羽根の枚数の期待値 $E_{p}^{2k}(t)$ を考える．たとえば，図 (a) の場合はすべての矢に貫通される羽根は $0$ 枚で，図 (b) の場合は $2$ 枚である．$E_{p}^{2k}(t)$ の値は $t$ の関数であるが，$p,\, 2k$がある条件を満たせば，$E^{2k}_p(t)$ は $t$ によらない定数となる．その条件と，そのときの定数とを求めよ．

また，$x$ 軸方向右側からも $-1 \leqq y \leqq 1$ の範囲に一様ランダムに $2k$ 本の矢がやってくるとき，$2k$ 本すべての矢に貫通される羽根の枚数の期待値を $F_{p}^{2k}(t)$ とする．これは単に $F_{p}^{2k}(t) = E_{p}^{2k}\left (t+\dfrac{\pi}2\right)$ である．$E_{p}^{2k}(t) +F_{p}^{2k}(t)$ が定数関数になるときについても，前問と同様に考察せよ．