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出題（2024年1月号掲載分）／応募締切（1月8日）／解答（2024年4月号掲載）

エレガントな解答をもとむ(数学セミナー)｜ 2023.12.11

『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します．奮ってご応募ください．解答・講評(3ヶ月後)は，本誌にてご確認ください．

(毎月10日頃の掲載予定)

$\def\t#1{\text{#1}}\def\dfrac#1#2{\displaystyle\frac{#1}{#2}}$

出題1

$\triangle\t{ABC}$ の内部に一点 $\t{P}$ をとり，$\t{P}$ を通って 3 辺 $\t{BC},\,\t{CA},\,\t{AB}$ に平行な線を引き，それらが辺と交わる点を順次 $\t{D},\,\t{E};\,\t{F},\, \t{G};\, \t{H},\, \t{J}$ とします (図参照)．

ここでこれらの 6 点 $\t{D},\,\t{H},\,\t{F},\,\t{E},\,\t{J},\,\t{G}$ が同一の円周上に載るための，点 $\t{P}$ の位置に関する必要十分条件を，ベクトルなどを活用して，表現してください．

付記　この点 $\t{P}$ は，いわゆる三角形の「五心」の内には入りませんが，それらに続く重要な点であり，いろいろの名があります．余裕があれば，そのとき 3 本の小線分 $\t{GJ},\,\t{DH},\,\t{EF}$ の長さが相等しいことを示し，それらの共通の長さを，3 辺長 $a=\t{BC},\, b=\t{CA},\, c=\t{AB}$ によって表してください．

出題：一松信 (京都大学名誉教授)

出題2

自然数 $m,\,n$ に対して，累乗の和
\begin{align*}
S_m (n) = \sum_{k=1}^n k^m = 1^m + 2^m + \cdots +n^m
\end{align*}についての問題です．$m = 1,\, 2,\, 3$ については
\begin{align*}
& S_1 (n) = \sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2} n (n+1) \\[5pt]
& S_2 (n) = \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1) \\[5pt]
& S_3 (n) = \sum_{k=1}^n k^3 = \left\{\frac{1}{2}\,n (n+1)\right\}^2
\end{align*}という公式が，高校の教科書にも載っています．これらの公式を見て，

「あっ，$S_1 (n)$ の二乗は $S_3 (n)$ に等しいんだ」

と思った人も多いはずですね．では，これ以外に，

累乗すると，2 つの公式が等しくなる場合，

すなわち，すべての自然数 $n$ について
\begin{align*}
S_p (n)^a = S_q (n)^b
\end{align*}が成り立つ自然数 $p,\, q,\, a,\, b\ (p < q)$ があるでしょうか？　調べてみてください．

累乗の和の公式は，なじみのある話題ですので，『数学セミナー』の賢明な読者の皆さんには，やさしい問題でしょうか？　「エレガントでない長い解答」を「エレファントな解答」という，古くからの表現がありますが，それに対抗して言うと，「ビビッ」とくる「エレキテルな解答」をお待ちしています．