出題（2022年10月号掲載分）／応募締切（10月8日）／解答（2023年1月号掲載）
出題1
実数 $q$ と $0 \leqq m \leqq n$ に対し，
\begin{align*}
\left (
\begin{matrix} n \\ m
\end{matrix}
\right)_q = \frac{(1-q^n) (1-q^{n-1}) \cdots (1-q^{n-m+1})}{(1-q^m) (1-q^{m-1})\cdots (1-q)}
\end{align*}と定める．このとき，$m \leqq k \leqq n$ に対し，
\begin{align*}
\sum_{l=0}^{k} q^{(n-l) (k-l)} \left (
\begin{matrix} n \\ l
\end{matrix}
\right)_q \left (
\begin{matrix} m \\ k-l
\end{matrix}
\right)_q
\end{align*}を求めよ．
出題：荒野悠輝
出題2
(1) 6 角形 $\rm{P}_1\rm{P}_2\cdots \rm{P}_6$ が円に内接し，3 本の対角線 $\rm{P}_1\rm{P}_4$, $\rm{P}_2\rm{P}_5$, $\rm{P}_3\rm{P}_6$ が 1 点で交わるならば，
\begin{align*}
\rm{P}_1\rm{P}_2\cdot \rm{P}_3\rm{P}_4 \cdot \rm{P}_5\rm{P}_6= \rm{P}_2\rm{P}_3 \cdot \rm{P}_4\rm{P}_5 \cdot \rm{P}_6\rm{P}_1\end{align*}であることを示せ．ただし $\t{P}_i\t{P}_{i+1}$ は $\t{P}_i$ と $\t{P}_{i+1}$ を結ぶ辺の長さとする．
(2) $n$ が奇数のとき，正 $n$ 角形の 3 本の異なる対角線は 1 点で交わらないことを示せ．
$n$ を固定して $\zeta=e^{2\pi\sqrt{-1}/n}$ とおき，$\varPhi (x)=\prod (x-\zeta^j)$ と定義する．ただし右辺の積は $1\leqq j\leqq n$ かつ $n$ と互いに素な $j$ についてとる．例えば $n=6$ のとき $\varPhi (x)=(x-\zeta) (x-\zeta^5)=x^2-x+1$ である．(2) において次の事実を用いてもよい．有理数係数多項式 $f (x)$ が $f (\zeta)=0$ をみたせば，$f (x)$ は $\varPhi (x)$ で割れる．すなわち有理数係数多項式 $g (x)$ が存在して $f (x)=g (x)\varPhi (x)$ と表せる．
出題：徳重典英
応募規定［解答掲載2023年1月号］
郵送の場合
B5判の用紙をご使用のうえ，解答用紙 l 枚ごとにA：出題の番号(例：10月号出題1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記宛先までお送りください．
〒170-8474 東京都豊島区南大塚3-12-4
日本評論社 数学セミナー〈エレガントな解答をもとむ〉係
メール送信の場合
B5判のサイズで，解答用紙 1 枚ごとにA：出題の番号(例：10月号出題1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記フォームから PDF ファイルを送信して下さい (ファイルサイズ10MBまで)．
解答記載に LaTeX ご利用の方は，テンプレートもご活用下さい．テンプレート利用は任意です．またテンプレートの漢字コードはUTF8です．ファイルが文字化けするときは適宜変換してお使いください．
投稿フォームが上手く動かないなどの場合は，susemi_elegant@nippyo.co.jp に直接お送り下さい．
注意事項
- 締切：2022年10月8日
- 二題に応募されるときは，郵送の場合は解答用紙を，メール送信の場合はファイルを，出題ごとにかえてください．
- 年齢を忘れずにお書きください．
- 解答用紙は両面の使用を不可とします．
- 解答用紙はご返却できません．
- 問題のご感想も歓迎します．
- 出題掲載号：★★URL★★数学セミナー2022年10月号
- 解答・講評は，本誌2023年1月号にてご確認ください．