(第23回)直角三角形の基本定理の根底にあるもの
数学の泉(高瀬正仁)| 2020.08.04

(毎月上旬更新予定)
$\def\dfrac#1#2{{\displaystyle\frac{#1}{#2}}}\def\t#1{\text{#1}}\def\dint{\displaystyle\int}$
直角三角形の基本定理とは
1641 年 6 月 15 日,ピエール・ド・フェルマは数学の友フレニクルに手紙を書き,「直角三角形の基本定理 (la proposition fondamental des triangles rectangles)」を報告しました.フェルマが数の理論の領域で発見した多種多様な真理の中で,「フェルマの小定理」と並んで群を抜いてめざましい印象を受ける命題です.直角三角形の基本定理というのは,「4 の倍数を 1 だけこえる素数」の性質に関する命題で,そのような素数は二つの平方数の和の形に表されることが語られています.しかもそのような表示の仕方はただひととおりに確定することも,この命題に附随しています.いくつかの例を挙げると,
\begin{align*}
5=1+4,\quad 13=4+9,\quad 17=1+16,\quad
29=4+25,\quad 37=1+36,\quad 41=16+25, \cdots
\end{align*}というふうに,どこまでも続きます.