出題(2020年3月号掲載分)/応募締切(3月8日)/解答(2020年6月号掲載)

エレガントな解答をもとむ(数学セミナー)| 2020.02.10
 『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します.奮ってご応募ください.解答・講評(3ヶ月後)は,本誌にてご確認ください.

(毎月10日頃の掲載予定)

$\def\t#1{\text{#1}}\def\R{\mathbb{R}}\def\N{\mathbb{N}}$

出題1

\begin{align*}
k=\sqrt[3]{\sin\dfrac\pi{14}}
-\sqrt[3]{\sin\dfrac{3\pi}{14}}+\sqrt[3]{\sin\dfrac{5\pi}{14}}
\end{align*}とする.このとき,$k$ の値(三角比を用いない表示)を求めよ.

余裕のある方は,$k^3$ の最小多項式($k^3$ を根にもつ整数係数の多項式で次数が最小のもの)を求めてみてください.

出題:佐久間一浩

出題2

正の整数 $N$ に対し,$1$ から $N$ までの整数の集合を $[N]$ と書くことにします.本問題では,$N=7$ のときを考えます.正の整数 $n$ に対し $[7]$ の元 $n$ 成分からなる組たち全体のなす集合を $[7]^n$ と書くことにします.つまり,$x\in[7]^n$ は $x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$, $x_1,\cdots,x_n$ は $[7]:=\{1,2,\cdots,7\}$ の元,の形です.$A\subseteqq[7]^n$ に対し,$(x,y,z,w)$ が$A$ 上の重心三角形であるとは,$x,\,y,\,z,\,w$ が $A$ の相異なる元であって,$x+y+z=3w$ を満たすことを言います.ここで,$x+y+z$ は成分ごとの和,$3w$ は各成分を $3$ 倍した組のことです.(和や $3$ 倍は整数の間の演算と思います.) 例えば,$x=(1,5, 1, 5),\, y=(2, 3, 2, 5),\,z = (3, 1, 6, 5),\, w = (2, 3, 3, 5)$ とおくと,$(x, y, z, w)$ は $[7]^4$ 上の重心三角形となります.($x,\,y,\, z,\, w$ をユークリッド空間 $\mathbb{R}^n$ 上の $4$ 点だと思ったとき,三角形 $xyz$ の重心が $w$ となっているのが「重心三角形」の由来です.ただし,上述の定義からわかるように,$x,\, y,\,z,\,w$ の 4 点が異なっている限り,$x,\,y,\,z$ が同一直線上にあってもよいとします.) $A$ 上の重心三角形が存在しないとき,$A\subseteqq[7]^n$ は「重三-freeである」ということにしましょう.

$[7]^n$ 自体の元の個数 $\sharp([7]^n)$ は $7^n$ ですが,上記の例のように $[7]^n$ 自体は重三-freeではありません.$[7]^n$ の部分集合 $\{1,3\}^n$ は重三-freeなので(証明してみましょう),$[7]^n$ の重三-freeな部分集合 $A$ で,その元の個数 $\sharp A$ が $\sharp A\geqq 2^n$ を満たすものは存在します.

(1)どんな正の整数 $n$ に対しても,$[7]^n$ の重三-freeな部分集合 $A$ で $\sharp A\geqq 3^n$ を満たすものは存在します.このことを示してください.

(2) $n$ をどんどん大きくしていくとき,$[7]^n$ の重三-freeな部分集合 $A$ の元の個数 $\sharp A$ はどれくらい大きくなれるでしょうか?

より具体的には,次を考えてください:「正の実数 $c$ を固定して,各 $n$ に対し,『重三-freeな $A\subseteqq[7]^n$ で,$\sharp A\geqq c^n$ を満たすものは存在するか?』を問います.この問いの答えが十分大きい $n$ 以降では常に YES となるような $c$ の範囲はどうなっているでしょうか?」

興味がある方はさらに,$[7]^n$ の代わりに大きい正の整数 $N$ を一つ決めて,$[N]^n$ に対し,同様の問題を考えてください.また,(1)のみの応募も歓迎します.

出題:見村万佐人

応募規定[解答掲載2020年6月号]

郵送の場合

B5版の用紙をご使用のうえ,解答用紙 l 枚ごとにA:出題の番号(例:3月号出題1),B:住所,氏名(ふりがなも明記,誌上での仮名を希望される方は,こちらに明記),年齢,職業を記入して,下記宛先までお送りください.

〒170-8474 東京都豊島区南大塚3-12-4
日本評論社 数学セミナー〈エレガントな解答をもとむ〉係

メール送信の場合

B5版のサイズで,解答用紙l枚ごとにA:出題の番号(例:3月号出題1),B:住所,氏名(ふりがなも明記,誌上での仮名を希望される方は,こちらに明記),年齢,職業を記入して,下記フォームから PDF ファイルを送信して下さい

解答記載に LaTeX ご利用の方は,テンプレートもご活用下さい.テンプレート利用は任意です.またテンプレートの漢字コードはUTF8です.ファイルが文字化けするときは適宜変換してお使いください.

「エレガントな解答をもとむ」解答投稿フォーム

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編集部に届くメールと同内容のものを送信しますので,お送りいただくPDFファイルも添付されます.
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※解答PDFを添付して下さい

投稿フォームが上手く動かないなどの場合は,susemi_elegant@nippyo.co.jp に直接お送り下さい.

注意事項

  • 締切:2020年3月8日
  • 二題に応募されるときは,郵送の場合は解答用紙を,メール送信の場合はファイルを,出題ごとにかえてください.
  • 年齢を忘れずにお書きください.
  • 解答用紙は両面の使用を不可とします.
  • 解答用紙はご返却できません.
  • 問題のご感想も歓迎します.
  • 出題掲載号:数学セミナー2020年3月号
  • 解答・講評は,本誌2020年6月号にてご確認ください.

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