(第8回)不思議な解析接続
数学の泉(高瀬正仁)| 2019.05.02

(毎月上旬更新予定)
$\def\dfrac#1#2{{\displaystyle\frac{#1}{#2}}}$
関数の変数の変域を実数から複素数に拡大し,実変数の場合と同じように微分や積分の演算を考えていくと,実変数関数の場合には見られない不思議な現象に出会います.それは解析接続という現象です.一般的に考えると関数には定義域と呼ばれる場所が附随します.1 個の実変数 $x$ の関数であれば,実数直線上の区間 $(a, b)\ (a<b)$ などが指定され,「関数をここで考える」という宣言とともに解析学が解き起こされていきます.ところが複素変数の関数の場合には前もって定義域を指定するということが無意味になってしまいます.なぜなら,どの関数にもそれぞれに固有の定義域が先天的に伴っていて,そのためにまずはじめに関数を考える場所を指定するということが無意味になってしまうからです.