出題（2019年2月号掲載分）／応募締切（2月8日）／解答（2019年5月号掲載）
出題1
$n,\,m$ を非負整数とします．このとき，二項係数に関する和
\begin{align*}
\sum_{\begin{subarray}{c}
i+k=n\\
j+l=m
\end{subarray}}
(-1)^i(2i+2j+1)(2k+2l+1)
\begin{pmatrix}i+j\\ i\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}k+l\\ k\end{pmatrix}
\end{align*}をより簡単な形で表してください．和は $i+k=n,\,j+l=m$ を満たすような非負整数 $i,\,j,\,k,\,l$ 全体をわたります．
二項係数 $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$ は ${}_n\t{C}_k$ と書くこともよくあります．
出題：関 真一朗
出題2
正の整数の列 $a=(a_1,\cdots,a_k)$ について，非負整数 $m$ が「$a$ を用いて表せる」とは，$a$ のある部分列 $(a_{i_1},\cdots,a_{i_l})\ (1\leqq i_1<\dots< i_l \leqq k)$ について $m=a_{i_1}+\cdots+a_{i_l}$ が成り立つことと定義します．$a$ を用いて表せる整数全体の集合を $S(a)$ と書きます．例えば，$a=(1,1,4,6)$ のとき，部分列 $(1,4)$ や $a$ 自身についての和を考えると $5,\,12\in S(a)$ ですが，一方で $3\not\in S(a)$ です．($0$ は「空っぽの部分列の和」と考えて，常に $0\in S(a)$ であるとします．)
問1 $n$ を正の整数とします．条件
($\ast$) $S(a)$ が，$0$ から $n$ までの整数の集合 $\{0,1,\cdots,n\}$ と一致する
を満たす列 $a=(a_1,\cdots,a_k)$ が存在するような最小の $k$ (これを $k[n]$ と書きます)を答えてください．また，その最小の長さを持つ，条件 ($\ast$) を満たす列の具体的な構成法を示してください．
問2 正の整数 $n$ について，条件 ($\ast$) を満たす長さ $k[n]$ の列 $(a_1,\cdots,a_{k[n]})$ で $a_1\leqq \cdots\leqq a_{k[n]}$ を満たすものの個数を $d(n)$ と書きます．例えば $n=5$ のとき，$k[5]=3$ であり，上記の条件を満たす長さ 3 の列は $(1,1,3)$ と $(1,2,2)$ なので $d(5)=2$，という具合です．さて，$d(n)=1$ となる正の整数 $n$ をすべて決定してください．
出題：縫田光司
応募規定［解答掲載2019年5月号］
郵送の場合
B5版の用紙をご使用のうえ，解答用紙 l 枚ごとにA：問題の番号(例：2月号問1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記宛先までお送りください．
〒170-8474 東京都豊島区南大塚3-12-4
日本評論社 数学セミナー〈エレガントな解答をもとむ〉係
メール送信の場合
B5版のサイズで，解答用紙 l 枚ごとにA：問題の番号(例：2月号問1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記フォームから PDF ファイルを送信して下さい．
解答記載に LaTeX ご利用の方は，テンプレートもご活用下さい．テンプレート利用は任意です．またテンプレートの漢字コードはUTF8です．ファイルが文字化けするときは適宜変換してお使いください．
投稿フォームが上手く動かないなどの場合は，susemi_elegant@nippyo.co.jp に直接お送り下さい．
注意事項
- 締切：2019年2月8日
- 2 問に応募されるときは，郵送の場合は解答用紙を，メール送信の場合はファイルを，問題ごとにかえてください．
- 年齢を忘れずにお書きください．
- 解答用紙は両面の使用を不可とします．
- 解答用紙はご返却できません．
- 問題のご感想も歓迎します．
- 出題掲載号：数学セミナー2019年2月号
- 解答・講評は，本誌2019年5月号にてご確認ください．