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出題（2024年9月号掲載分）／応募締切（9月8日）／解答（2024年12月号掲載）

エレガントな解答をもとむ(数学セミナー)｜ 2024.08.09

『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します．奮ってご応募ください．解答・講評(3ヶ月後)は，本誌にてご確認ください．

(毎月10日頃の掲載予定)

$\def\t#1{\text{#1}}\def\dfrac#1#2{\displaystyle\frac{#1}{#2}}$

出題1

正の整数 $x,\,y$ について，その比 $x:y$ が隣り合う正の整数の比であるとき， $x,\,y$ をよいペアと呼びます．正の整数の集合 $A$ について， $A$ のどの 2 つの要素もよいペアであるとき， $A$ をよい集合と呼びます．例えば，純正律による長調の音階において，ド，ミ，ファ，ソの 4 音の周波数比は $\displaystyle 1: \frac{5}{4} : \frac{4}{3} : \frac{3}{2}$ となっています．通分して， $A = \{ 12, 15, 16, 18 \}$ と置くと， $A$ はよい集合になります．

(1) $5$ 個の要素からなるよい集合を 1 つ作ってください．

(2) どのような正の整数 $n$ についても，要素数が $n$ であるようなよい集合が存在するでしょうか．

余裕があれば，次の発展問題を考えてみてください． $d$ を正の整数とします．正の整数 $x,\,y$ について，その比 $x:y$ を最も簡単な整数の比で表わすとき，その両項の差が $d$ ならば $x,\,y$ を $d$ -good と呼びます．正の整数の集合 $A$ について， $A$ のどの 2 つの要素も $d$ -good であるとき， $A$ を $d$ -good と呼びます． $d>1$ のとき，上記の (2) に対応する問題の答えはどうなるでしょうか．

出題：中上川友樹 (湘南工科大学情報学部)

出題2

二つの実関数 $f (x),\, g (x)$ があれば，合成関数の差を取って $f (g (x))-g (f (x))$ という新しい関数が作れます．

(1) 不等式
$\begin{align*} \cos (\sin x) – \sin (\cos x) > 0 \end{align*}$ が成り立つことを証明してください．

(2) 不等式
$\begin{align*} \sin x +1 > f (g (x))-g (f (x)) > \sin x -1 \end{align*}$ が成り立つような関数 $f (x),\,g (x)$ は存在するでしょうか．証明をつけて解答してください．

(3) さらに，不等式
$\begin{align*} e^x+1 > f (g (x))-g (f (x)) > e^x-1 \end{align*}$ についてはどうでしょうか． (2) と同様に考えてください．

(4) $f (x)=|x|,\,g (x)=-\frac{1}{2}(|x|+1)$ とおけば， $f (g (x))-g (f (x)) = |x|+1$ となります．では，
$\begin{align*} f (g (x))-g (f (x)) = |x|-1 \end{align*}$ となるような関数 $f (x),\,g (x)$ は存在するでしょうか．